Строительная механика
Основы строительной механики
Дерево при растяжении вдоль волокон подчиняется закону Гука, но разрушается хрупко. На сжатие оно следует криволинейной диаграмме работы, которая с известной степенью точности может быть заменена диаграммой Прандтля Несмотря на то, что временное сопротивление древесины при растяжении больше, чем при сжатии, в строительных конструкциях избегают растянутых деревянных элементов, как опасных, ввиду хрупкого характера их разрушения (см. рис. 1.3, г.).
Следует заметить, что расчет по нелинейной диаграмме работы материала тоже не является вполне точным и строгим, так как фактическая диаграмма зависит не только от свойств материала конструкции, но и от режима нагружения: при больших скоростях нагружения она приближается к прямой линии закона Гука, при малых скоростях наблюдается рост пластических деформаций (рис. 1.3, д). Таким образом, в зависимость напряжений от дефор-маций входит фактор времени. Раскрытие этих зависимостей приводит к уравнениям ползучести, которые имеют вид уже не обычных алгебраических функций, а дифференциальных или интегральных соотношений.Наиболее хорошо разработаны методы расчета конструкций из упругих материалов, т.е. подчиняющихся закону Гука. Строительная механика упругих линейно-деформируемых систем представляет собой стройную науку и наиболее широко применяется при выполнении практических расчетов.
Исходные уравнения строительной механики можно разбить на три группы.
Уравнения равновесия, представляющие статическую сторону задачи расчета сооружения. Эти уравнения устанавливают взаимосвязь между внешними и внутренними усилиями, которые входят в них линейно. Таким образом, уравнения равновесия всегда линейные.
read comments (0)
Уравнения совместности деформаций, представляющие геометрическую сторону задачи расчета сооружений. В этих уравнениях деформации удлинения, сжатия, изгиба и т.п. связываются с перемещениями точек системы. В общем случае эти уравнения нелинейные. Но если учесть, что перемещения и деформации, как правило, малы для реальных систем по сравнению с размерами конструкций, то уравнения, связывающие их, становятся линейными.
Физические уравнения связывают напряжения с деформациями. Для многих материалов эти уравнения можно получить на основе закона Гука. Однако поскольку большинство материалов подчиняется этим зависимостям лишь при малых напряжениях, то линейную связь между усилиями и деформациями следует считать довольно грубым приближением, особенно в тех случаях, когда напряжения в конструкциях приближаются к разрушающим. Вместе с тем расчет на основе закона Гука можно считать оправданным при работе конструкции в стадии упругой деформации, когда до разрушения конструкции еще далеко.
Если все уравнения: равновесия, совместности деформаций и физические, составленные для данной конструкции линейные, то расчетная схема представляет линейно-деформированную систему, для которой справедлив принцип независимости действия сил. Этот принцип формулируется таким образом: если на конструкцию действует несколько видов нагрузок, то суммарный результат действия этих нагрузок равен сумме результатов действия каждой отдельной нагрузки. Это относится к усилиям, деформациям, перемещениям и другим расчетным величинам.
Из принципа независимости действия сил вытекает, что конструкцию можно рассчитывать на отдельные единичные усилия, а затем результаты умножить на значения этих усилий и сложить друг с другом.
Если хотя бы одно из геометрических или физических уравнений будет нелинейным, то принцип независимости действия сил в общем случае неприменим, конструкцию следует рассчитывать сразу на суммарное действие всех нагрузок.
Принцип независимости действия сил позволяет расчленять нагрузку на отдельные части и вести расчет порознь на действие каждой из них. Простейшей базовой нагрузкой является единичная сосредоточенная сила, приложенная в определенной точке и в определенном направлении. Из сосредоточенных сил можно получить любую нагрузку, в том числе и распределенную, путем предельного перехода к бесконечной сумме бесконечного числа сосредоточенных сил. Поэтому имея расчет системы на действие единичной сосредоточенной силы, приложенной в произвольной точке и по произвольному направлению, мы сможем легко рассчитать систему и на любую нагрузку. Данный подход является аналогом известного метода функций Грина из математики.
При перемещении точки приложения сосредоточенной силы усилие в рассматриваемом сечении системы, естественно, изменяется График, изображающий закон изменения усилия или деформационного фактора в данном сечении в зависимости от положения на сооружении единичного груза с = 1, называется линией влияния.
Точно также можно определить линию влияния какого-либо перемещения, например прогиба в определенной точке, от действия единичной сосредоточенной нагрузки, приложенной в различных местах системы.Следует подчеркнуть различие между понятиями линии влияния и эпюры, которая по определению также является графическим изображением закона изменения усилия или перемещения.
Ординаты у! и линии влияния, и эпюры моментов являются здесь функциями от координаты х. Однако в случае линий влияния эта координата определяет положение груза Р= 1, а в случае эпюры — положение сечения, в котором находится момент.
Часто нагрузка передается на конструкцию не непосредственно, а через систему статически определимых балок (рис. 1.10, а). Тогда, если единичный груз находится в начале пролета балки, т.е. в точке а, то он целиком передается на основную конструкцию и вызывает усилие, для которого построена линия влияния, численно равное уа — ординате линии влияния, соответствующей I основной конструкции (рис. 1.10, б).
Если груз находится в конце пролета балки (точка Ь), то он также передается на основную конструкцию, вызывая усилие, численно равное у/, — ординате линии влияния в точке Ъ основной конструкции.
Трехшарнирной аркой называется трехшарнирная система из двух криволинейных брусьев (рис. 1.20, а). Трехшарнирные арки
относятся к распорным системам, которые характеризуются тем, что вертикальные нагрузки вызывают горизонтальные опорные реакции — распор (рис. 1.20, б).
Для расчета трехшарнирной арки применяют следующий подход. Исключают средний шарнир арки, заменив его жесткой связью между половинками арки, и удалив одну горизонтальную опору. Полученная новая система представляет собой статически определимую однопро-летную балку с криволинейной осью (рис. 1.20, б). Отброшенную горизонтальную опору заменяют усилием Н— неизвестным пока распором арки. От действия внешней нагрузки строят вдоль горизонтальной проекции арки эпюру моментов, как в обычной балке.Продольные и поперечные силы в любом сечении арки или рамы определяются из условия равновесия части системы, расположенной по одну сторону от рассматриваемого сечения. Предварительно заметим, что сумма вертикальных сил, приложенных слева от заданного сечения.Если на арку действует не только вертикальная, но и горизонтальная нагрузка Р, то вместо распора Н в формулах (1.22) и (1.23) следует брать сумму всех горизонтальных сил, действующих слева от точки А.
Разделив момент Ма на продольную силу NA, получим эксцентриситет е ее действия в сечении арки, который определит точку пересечения равнодействующей внутренних сил в сечении арки с плоскостью этого сечения (рис. 1.22, б).
Геометрическое место таких точек, построенных для всех сечений арки, называется кривой давления арки. Она представляет собой линию действия внутренней силы, передающейся вдоль арки. Отношение Qa/Na равно тангенсу угла между касательными к кривой давления и к оси арки в том же сечении.
В особых случаях кривая давления может совпадать с осью арки. При этом изгибающие моменты по всей длине арки будут равны нулю. Такой случай будет иметь место, например, при нагружении круговой арки равномерной радиальной нагрузкой или при нагружении параболической арки равномерной вертикальной нагрузкой.
В шарнирно-стержневой системе элементами являются стержни, шарнирно скрепленные между собой по концам. Точки соединения стержней называются узлами. Для подсчета числа степеней свободы шарнирно-стержневой системы можно элементами считать ее узлы, а стержни, соединяющие узлы, — связями. При этом каждый узел считается обладающим двумя степенями свободы в плоскости и тремя в пространстве. Число степеней свободы получается равным удвоенному числу узлов для плоскости и утроенному — для пространственной шарнирно-стержневой системы.
В реальных фермах стержни соединены между собой не шарнирно, а жестко. Однако и в этом случае к ним применима с достаточной степенью приближения шарнирно-стержневая расчетная схема. Действительно, в реальных фермах стержни искривляются незначительно, а изгибная жесткость стержней очень мала, поэтому возникающие в стержнях изгибающие моменты пренебрежимо малы по сравнению с продольными силами, и можно полагать, что стержни работают как шарнирно закрепленные. Применимость шарнирно-стержневой схемы к реальным фермам подтверждена экспериментально.
В фермах, применяемых для покрытий и перекрытий, а также для мостов, различают верхний и нижний пояса и решетку. Решетка состоит из наклонных раскосов и вертикальных стоек (рис. 1.27).
Ферма по длине пролета делится на панели, обычно, ограниченные соседними узлами поясов. В однопролетной ферме, нагруженной действующей вниз нагрузкой, верхний пояс сжат, а нижний растянут; нисходящие раскосы вблизи опор фермы растянуты, а восходящие сжаты. Стойки решетки при нагрузке по верхнему поясу сжаты, а при нагрузке по нижнему поясу — растянуты.
Из условия равновесия фермы в целом с начала определяются опорные реакции, далее для определения усилий в элементах фермы применяются различные подходы.
Наиболее простым методом определения усилий в стержнях статически определимой фермы является метод вырезания узлов. Разрезая мысленно стержни, сходящиеся в данном узле, и уравновешивая внешнюю силу, приложенную к нему, продольными усилиями, действующими по направлению каждого стержня, получаем необходимые уравнения для определения этих сил. При составлении уравнений равновесия предполагаем все внутренние силы растягивающими и действующими по направлению от узла (рис. 1.29, а).
Так как все силы, действующие на узел, пересекаются в одной точке, то для каждого узла плоской фермы можно составить два уравнения равновесия, выражающие равенство нулю сумм проекций всех сил на горизонтальную и вертикальную оси. Всего таким образом можно составить 2С число независимых уравнений. Поскольку число стержней в статически определимых фермах, включая опорные стержни, тоже равны 2С, то мы получаем полную систему 2С алгебраических уравнений с 2С неизвестными усилиями. Причем в каждое уравнение, составленное таким, образом,системы уравнений входят не все неизвестные, а обычно только их небольшая часть.ермы является метод сечений. Разрезав мысленно ферму на две части и отбросив одну из них, можно составить три уравнения равновесия для оставшейся части фермы. Если в разрез попадают только три стержня, то при помощи этих уравнений можно определить усилия в разрезанных стержнях. Систему трех уравнений равновесия можно свести к трем независимым уравнениям, если эти уравнения составить так, чтобы сумма моментов всех сил, действующих на оставшуюся часть фермы, относительно каждой из трех точек пересечения направлений разрезанных стержней была равна нулю.
Для определения усилия в интересующем нас у'-м стержне достаточно составить только одно уравнение моментов, взятых относительно точки пересечения двух других стержней. Эта последняя точка называется моментной точкой дляу-го стержня.
На рис. 1.30 показано применение метода сечений при определении усилий в стержнях второй панели фермы. Для определения усилия в стержне 4—6 следует составить условие равенства нулю моментов сил, приложенных по левую сторону от разреза а—Ь, относительно точки А; для определения усилия в стержне 3—5 — относительно точки В и для определения усилия в стержне 4—5 — относительно точки С.
Для металлической фермы с размерами и узловыми нагрузками, полученными путем замены собственного веса, равномерно распределенного по всей длине q = 100 кН/м, высота фермы Н = d = 2 м, нагрузка на крюке тележки Q = 500 кН; движение тележки предполагается по нижнему поясу фермы (рис. 1.37), требуется:
1. Определить аналитически усилия t74, V4, D$ в элементах фермы (рис. 1.37, в, г).
2. Построить линии влияния усилий в тех же элементах, определив числовые значения их ординат.
3. Вычислить суммарные (расчетные) усилия в элементах фермы от постоянной нагрузки q и временной нагрузки Pq .
4. Загрузить одну линию влияния (по выбору) постоянной нагрузкой q, определить усилие и сравнить его с полученным в аналитическом расчете по п.1.Загрузим все линии влияния временной нагрузкой в виде перемещающейся по грузовому поясу тележки с давлением на ось Pq (см рис. 1.38, е, и, к).
Вычислим суммарные усилия в указанных элементах от сочетания постоянной расчетной нагрузки q и временной Pq.
Предварительно вычислим из геометрических соотношений ординаты линий влияния, соответствующие невыгоднейшему положению колес тележки. Примем расстояние между осями тележки а = 1 м. При этом ветровые, тормозные и инерционные силы в первом приближении учитывать не будем.
Для шпренгельной фермы с размерами и узловыми нагрузками, полученными путем замены собственного веса, равномерно распределенного по всей длине фермы (рис. 1.39, а), требуется:
1. Определить усилия в стержнях шпренгельной фермы от собственного веса фермы q = 40 кН/м аналитическим способом.
2. Построить линии влияния усилий в элементах шпренгельной фермы.
3. Вычислить максимальное усилие в элементе пояса при загру-жении его линии влияния заданной временной нагрузкой от железнодорожного подвижного состава класса К- 10.
4. Определить то же усилие, что и в п.З, с помощью загружения линии влияния эквивалентной нагрузкой класса К. Сравнить результаты, полученные в пп. 3 и 4
5. Определить усилие в раскосе D с помощью загружения его линии влияния собственным весом фермы q = 40 кН/м и сравнить с результатом, полученным в п.1.Дополнительные шпренгельные фермы (шпренгели), изображенные на рис. 1.39, а, передают местную вертикальную нагрузку, приложенную к нижним дополнительным узлам, только в нижние узлы основной фермы. Такие шпренгели называются одноярусными. Элементы ферм, в состав которых входят одноярусные шпренгели, можно разделить на следующие три категории:
1) элементы, принадлежащие только основной ферме. Усилия в этих элементах определяются расчетом основной фермы;
2) элементы, принадлежащие только дополнительным шпрен-гельным фермам (шпренгелям). Усилия в них определяются из условий равновесия, составляемых для отдельных частей шпренгеля, который при этом можно рассматривать как самостоятельную двух-опорную ферму (рис. 1.39, г);
3) элементы, принадлежащие одновременно основной ферме и шпренгелю.
Усилия в таких элементах равны сумме двух усилий, одно из которых возникает в элементе основной фермы, а другое — в элементе шпренгеля.
Встречаются шпренгельные фермы, в состав которых входят двухъярусные шпренгели. Отличительная особенность двухъярусных шпренгелей состоит в том, что они узловую нагрузку, приложенную к нижнему поясу, передают в узлы верхнего пояса или, наоборот, — с верхнего пояса на нижний. Элементы таких шпренгельньгх ферм делятся на четыре категории: первые три те же, что и для ферм с одноярусными шпренгелями; элементами четвертой категории являются те элементы основной фермы, линии влияния для которых имеют различный вид при езде поверху и при езде понизу. Расчет ферм с двухъярусными шпренгелями проводится с учетом этой особенности и подробно рассмотрен в учебнике.
Статически неопределимой называют такую систему, которая не может быть рассчитана по методу сечений с использованием лишь одних условий равновесия, так как она обладает лишними связями. В качестве лишних следует принимать те связи, которые необходимо отбросить из состава заданной, чтобы превратить ее в статически определимую и геометрически неизменяемую систему.
Количество лишних связей, которые следует удалить из статически неопределимой системы для обращения ее в статически определимую и геометрически неизменяемую, называют степенью статической неопределимости.
Следует различать внешне статически неопределимые и внутренне статически неопределимые системы.Внутренне статически неопределимой называют систему, обладающую лишними связями, введенными для взаимного соединения частей системы.
Двухопорная рама с затяжкой (рис. 2.2, а) внутренне один раз статически неопределимой. Статически определимая система (рис. 2.2, б) получена из заданной (рис. 2.2, а) путем разрезания затяжки ab. И при этом взаимодействие частей затяжки заменяется только одной неизвестной осевой силой N . Следовательно, в статически определимой системе, изображенной на рис. 2.2, б, имеем одно лишнее неизвестное N , которое невозможно определить при помощи метода сечений. Поэтому заданная система является один раз статически неопределимой.Если затяжку жестко заделать в стойки, как это показано на рис. 2.3, а, то получим трижды статически неопределимую систему.
Действительно, в данном случае после разрезания нижнего ригеля ab, взаимодействие частей ас и be характеризуется уже тремя неизвестными усилиями N, Q, М (рис. 2.3, б), которые нельзя определить из условия равновесия. Поэтому система, изображенная на рис. 2.3, а, является три раза внутренне статически неопределимой.
Отсюда можно сделать вывод, что в плоских системах, замкнутый бесшарнирный контур имеет три лишние связи. Следовательно, если плоская система содержит п замкнутых контуров, то она, очевидно, будет 3-я раз статически неопределима.
Отметим следующие основные свойства статически неопределимых систем.
Статически неопределимые системы ввиду наличия добавочных лишних связей, по сравнению с соответствующей статически определимой системой, оказываются более жесткими, а при идентичном характере нагружения значения усилий получаются меньшими. Следовательно, и более экономичными.
Разрушение лишних связей в нагруженном состоянии не ведет к разрушению всей системы в целом, так как удаление этих связей приводит к новой, геометрически неизменяемой системе, в то время как потеря связи в статически определимой системе приводит к изменяемой системе.
В строительной механике различают следующие два классических метода расчета статически неопределимых систем; метод сил к метод перемещений.
При расчете по методу сил основными искомыми величинами являются усилия в лишних связях. Знание усилий в лишних связях позволит по методу сечений, как это было показано в первом разделе учебника, выполнять полный расчет по определению усилий, возникающих в поперечных сечениях элементов заданной системы.
При расчете по методу перемещений основными искомыми величинами являются перемещения узловых точек, вызванные деформацией системы. Знание этих перемещений необходимо и достаточно для определения всех внутренних усилий, возникающих в поперечных сечениях элементов, заданной системы.
При расчете статически неопределимых систем, кроме уравнений равновесия, как известно, приходится составлять и решать уравнения совместности деформаций системы. Для составления таких уравнений необходимо уметь определять перемещения заданной системы. Это приходится часто делать и при расчете статически определимых систем, которые должны обладать не только достаточной прочностью, но и жесткостью, так как в процессе их эксплуатации нормируются не только напряжения, но и перемещения конструкций.
Таким образом, изучение общих методов определения перемещений упругих систем является одной из основных задач строительной механики.
При определении перемещений заданной системы очень важным является понятие работы внешних сил на возможных перемещениях, которая при их статическом действии на сооружение равна сумме половины произв дения значения этих сил на величину соответствующего им перемещения. Работа внешних сил на вызванных ими перемещениях может быть выражена через внутренние усилия (изгибающие моменты, продольные и поперечные силы), возникающие в поперечных сечениях стержней конструкции. На этом основан один из наиболее распространенных способов определения перемещений — способ, предложенный немецким ученым О. Мором в 1874г.
Пусть рассматриваемая заданная стержневая система под влиянием внешнего воздействия деформируется и требуется определить обобщенное перемещение в 1-й произвольной точке (рис. 2.4) в заранее заданном направлении.
Согласно принципу возможных перемещений, для закрепленной системы с идеальными связями, сумма работ всех усилий на любых малых возможных перемещениях равна нулю, что является необходимым и достаточным условием нахождения равновесного состояния рассматриваемой системы. Для деформируемой системы, в аналитическом выражении начала возможных перемещений, следует учесть работу как внешних, так и внутренних усилий.
Рассмотрим два состояния системы: одно, возникающее под действием заданной нагрузки (рис. 2.4, а); второе — под действием единичной силы, приложенной в интересующей нас точке i по направлению искомого перемещения. Определим возможную работу сил второго состояния на перемещениях первого состояния.Это выражение носит название формулы Мора. Замечательной особенностью вычисления перемещегий по формуле Мора является то обстоятельство, что в качестве второго состояния можно использовать любую систему, образованную из заданной путем отбрасывания лишних связей, т.е. брать в качестве вспомогательного состояния любую статически определимую систему, полученную из заданной. Это в значительной степени упрощает процедуру вычисления перемещения по формуле Мора.
Во многих практических случаях формула Мора может быть значительно упрощена. Например, в статически неопределимых фермах изгибающие моменты и поперечные силы пренебрежимо малы, а продольные силы постоянны по длине каждого стержня.