Строительная механика
Основы строительной механики
Рубрика 'Строительная механика' Category
Трехшарнирной аркой называется трехшарнирная система из двух криволинейных брусьев (рис. 1.20, а). Трехшарнирные арки
относятся к распорным системам, которые характеризуются тем, что вертикальные нагрузки вызывают горизонтальные опорные реакции — распор (рис. 1.20, б).
Для расчета трехшарнирной арки применяют следующий подход. Исключают средний шарнир арки, заменив его жесткой связью между половинками арки, и удалив одну горизонтальную опору. Полученная новая система представляет собой статически определимую однопро-летную балку с криволинейной осью (рис. 1.20, б). Отброшенную горизонтальную опору заменяют усилием Н— неизвестным пока распором арки. От действия внешней нагрузки строят вдоль горизонтальной проекции арки эпюру моментов, как в обычной балке.Продольные и поперечные силы в любом сечении арки или рамы определяются из условия равновесия части системы, расположенной по одну сторону от рассматриваемого сечения. Предварительно заметим, что сумма вертикальных сил, приложенных слева от заданного сечения.Если на арку действует не только вертикальная, но и горизонтальная нагрузка Р, то вместо распора Н в формулах (1.22) и (1.23) следует брать сумму всех горизонтальных сил, действующих слева от точки А.
Разделив момент Ма на продольную силу NA, получим эксцентриситет е ее действия в сечении арки, который определит точку пересечения равнодействующей внутренних сил в сечении арки с плоскостью этого сечения (рис. 1.22, б).
Геометрическое место таких точек, построенных для всех сечений арки, называется кривой давления арки. Она представляет собой линию действия внутренней силы, передающейся вдоль арки. Отношение Qa/Na равно тангенсу угла между касательными к кривой давления и к оси арки в том же сечении.
В особых случаях кривая давления может совпадать с осью арки. При этом изгибающие моменты по всей длине арки будут равны нулю. Такой случай будет иметь место, например, при нагружении круговой арки равномерной радиальной нагрузкой или при нагружении параболической арки равномерной вертикальной нагрузкой.
read comments (0)
В рассматриваемом примере все линии влияния строим способом нулевых точек.
Линии влияния внутренних усилий Mr, Q% и Nr могут быть получены сложением известных линий влияния балочных моментов
Мк и балочных поперечных сил QK , а также линии влияния распора Н, умноженных на соответствующие коэффициенты выражений (1.18), (1.22), (1.23), что приводит к простым правилам построения линий влияния внутренних усилий в арках.
Ввиду того, что все слагаемые в этих формулах представлены кусочно-линейными функциями, определим абсциссы тех точек, в которых ординаты линий влияний влияний равны нулю. Эти точки называются нулевыми.
Очевидно, что к их числу относятся опорные точки шарнирной арки. Далее предположим, что при действии единичного груза Р = = 1 в точке, принадлежащей арке с абсциссой г0м (см. рис. 1.25, а), вектор равнодействующих всех внешних сил, действующих в части системы, расположенной левее точки К, проходит через эту точку, тогда, очевидно, что изгибающий момент в сечении К в этом случае будет равен нулю.Для определения нулевой точки линии влияния Nr, нужно определить абсциссу точки приложения единичной силы Р= 1, при котором нормальная внутренняя сила в сечении К равна нулю. Следовательно, нам необходимо определить такую точку приложения единичной силы Р= 1, при котором общий вектор равнодействующей всех сил, расположенных левее сечения К, имеет направление, параллельное нормали оси арки.Следует подчеркнуть, что все характерные ординаты линий влияния и ординаты под нагрузками необходимо всегда определять аналитически из подобия треугольников.
В шарнирно-стержневой системе элементами являются стержни, шарнирно скрепленные между собой по концам. Точки соединения стержней называются узлами. Для подсчета числа степеней свободы шарнирно-стержневой системы можно элементами считать ее узлы, а стержни, соединяющие узлы, — связями. При этом каждый узел считается обладающим двумя степенями свободы в плоскости и тремя в пространстве. Число степеней свободы получается равным удвоенному числу узлов для плоскости и утроенному — для пространственной шарнирно-стержневой системы.
В реальных фермах стержни соединены между собой не шарнирно, а жестко. Однако и в этом случае к ним применима с достаточной степенью приближения шарнирно-стержневая расчетная схема. Действительно, в реальных фермах стержни искривляются незначительно, а изгибная жесткость стержней очень мала, поэтому возникающие в стержнях изгибающие моменты пренебрежимо малы по сравнению с продольными силами, и можно полагать, что стержни работают как шарнирно закрепленные. Применимость шарнирно-стержневой схемы к реальным фермам подтверждена экспериментально.
В фермах, применяемых для покрытий и перекрытий, а также для мостов, различают верхний и нижний пояса и решетку. Решетка состоит из наклонных раскосов и вертикальных стоек (рис. 1.27).
Ферма по длине пролета делится на панели, обычно, ограниченные соседними узлами поясов. В однопролетной ферме, нагруженной действующей вниз нагрузкой, верхний пояс сжат, а нижний растянут; нисходящие раскосы вблизи опор фермы растянуты, а восходящие сжаты. Стойки решетки при нагрузке по верхнему поясу сжаты, а при нагрузке по нижнему поясу — растянуты.
Из условия равновесия фермы в целом с начала определяются опорные реакции, далее для определения усилий в элементах фермы применяются различные подходы.
Наиболее простым методом определения усилий в стержнях статически определимой фермы является метод вырезания узлов. Разрезая мысленно стержни, сходящиеся в данном узле, и уравновешивая внешнюю силу, приложенную к нему, продольными усилиями, действующими по направлению каждого стержня, получаем необходимые уравнения для определения этих сил. При составлении уравнений равновесия предполагаем все внутренние силы растягивающими и действующими по направлению от узла (рис. 1.29, а).
Так как все силы, действующие на узел, пересекаются в одной точке, то для каждого узла плоской фермы можно составить два уравнения равновесия, выражающие равенство нулю сумм проекций всех сил на горизонтальную и вертикальную оси. Всего таким образом можно составить 2С число независимых уравнений. Поскольку число стержней в статически определимых фермах, включая опорные стержни, тоже равны 2С, то мы получаем полную систему 2С алгебраических уравнений с 2С неизвестными усилиями. Причем в каждое уравнение, составленное таким, образом,системы уравнений входят не все неизвестные, а обычно только их небольшая часть.ермы является метод сечений. Разрезав мысленно ферму на две части и отбросив одну из них, можно составить три уравнения равновесия для оставшейся части фермы. Если в разрез попадают только три стержня, то при помощи этих уравнений можно определить усилия в разрезанных стержнях. Систему трех уравнений равновесия можно свести к трем независимым уравнениям, если эти уравнения составить так, чтобы сумма моментов всех сил, действующих на оставшуюся часть фермы, относительно каждой из трех точек пересечения направлений разрезанных стержней была равна нулю.
Для определения усилия в интересующем нас у'-м стержне достаточно составить только одно уравнение моментов, взятых относительно точки пересечения двух других стержней. Эта последняя точка называется моментной точкой дляу-го стержня.
На рис. 1.30 показано применение метода сечений при определении усилий в стержнях второй панели фермы. Для определения усилия в стержне 4—6 следует составить условие равенства нулю моментов сил, приложенных по левую сторону от разреза а—Ь, относительно точки А; для определения усилия в стержне 3—5 — относительно точки В и для определения усилия в стержне 4—5 — относительно точки С.
Линии влияния усилий в панелях верхнего и нижнего пояса фермы строятся как линии влияния момента относительно момент-ной точки с ординатами, деленными на плечо рассматриваемого усилия относительно моментной точки. На протяжении панели, по которой движется груз, производится спрямление линии влияния, как при узловой передаче нагрузок. Таким же образом строятся линии влияния усилий в раскосах и в стойках в случае непараллельных поясов.
Заметим, что обычно сразу указывается, где движется единичный груз, поскольку возможно движение груза как по верхнему, так и по нижнему поясу фермы.
При параллельных поясах линии влияния усилий в раскосах и стойках строятся как линии влияния поперечной силы для вертикального сечения, пересекающего раскос или стойку, с ординатами, деленными на since, где а — угол наклона раскоса; и со спрямлением на длину панели, по которой движется груз.Воспользовавшись правилом построения линий влияния при узловой передаче нагрузки, получим передаточную прямую.Для определения линии влияния N9-4, раскоса фермы с параллельными поясами проводим сечение II—II. Моментная точка в этом случае находится в бесконечности, так как верхний и нижний пояс параллельны. Применим метод проекций. Когда груз Р = 1 находится между узлами 4 и 14 (правее панели 3—4) рассматриваем равновесие левой отсеченной части фермы.
Рассмотрим движение связанной системы сосредоточенных сил, характеризующих собой давление колес поезда по заданной и, в общем случае, полигональной линии влияния (рис. 1.35). Если для каждого из последовательных положений поезда, определяемых координатой х, вычислять значение усилия S, то можно построить график зависимости S=S(x), представляющий собой полигональную линию, изломы которой соответствуют нахождению одного из грузов над одной из вершин линии влияния.Очевидно, что при некотором значении х = х0 этот график может иметь максимум Smax, определяющий наибольшее возможное значение искомого усилия. Ясно, что при х *■ х0 будет иметь место неравенство 5(х) < 5тах .
Для полигональной линии влияния и при сосредоточенных силах, эта ситуация реализуется только в том случае, если одна из системы подвижных сил располагается над одной из вершин линии влияния. Этот груз, располагающийся над вершиной линии влияния и доставляющий усилию S наибольшее возможное значение, принято называть критическим, а соответствующее расположение поезда — невыгоднейшим загружением линии влияния.
Для металлической фермы с размерами и узловыми нагрузками, полученными путем замены собственного веса, равномерно распределенного по всей длине q = 100 кН/м, высота фермы Н = d = 2 м, нагрузка на крюке тележки Q = 500 кН; движение тележки предполагается по нижнему поясу фермы (рис. 1.37), требуется:
1. Определить аналитически усилия t74, V4, D$ в элементах фермы (рис. 1.37, в, г).
2. Построить линии влияния усилий в тех же элементах, определив числовые значения их ординат.
3. Вычислить суммарные (расчетные) усилия в элементах фермы от постоянной нагрузки q и временной нагрузки Pq .
4. Загрузить одну линию влияния (по выбору) постоянной нагрузкой q, определить усилие и сравнить его с полученным в аналитическом расчете по п.1.Загрузим все линии влияния временной нагрузкой в виде перемещающейся по грузовому поясу тележки с давлением на ось Pq (см рис. 1.38, е, и, к).
Вычислим суммарные усилия в указанных элементах от сочетания постоянной расчетной нагрузки q и временной Pq.
Предварительно вычислим из геометрических соотношений ординаты линий влияния, соответствующие невыгоднейшему положению колес тележки. Примем расстояние между осями тележки а = 1 м. При этом ветровые, тормозные и инерционные силы в первом приближении учитывать не будем.
Для шпренгельной фермы с размерами и узловыми нагрузками, полученными путем замены собственного веса, равномерно распределенного по всей длине фермы (рис. 1.39, а), требуется:
1. Определить усилия в стержнях шпренгельной фермы от собственного веса фермы q = 40 кН/м аналитическим способом.
2. Построить линии влияния усилий в элементах шпренгельной фермы.
3. Вычислить максимальное усилие в элементе пояса при загру-жении его линии влияния заданной временной нагрузкой от железнодорожного подвижного состава класса К- 10.
4. Определить то же усилие, что и в п.З, с помощью загружения линии влияния эквивалентной нагрузкой класса К. Сравнить результаты, полученные в пп. 3 и 4
5. Определить усилие в раскосе D с помощью загружения его линии влияния собственным весом фермы q = 40 кН/м и сравнить с результатом, полученным в п.1.Дополнительные шпренгельные фермы (шпренгели), изображенные на рис. 1.39, а, передают местную вертикальную нагрузку, приложенную к нижним дополнительным узлам, только в нижние узлы основной фермы. Такие шпренгели называются одноярусными. Элементы ферм, в состав которых входят одноярусные шпренгели, можно разделить на следующие три категории:
1) элементы, принадлежащие только основной ферме. Усилия в этих элементах определяются расчетом основной фермы;
2) элементы, принадлежащие только дополнительным шпрен-гельным фермам (шпренгелям). Усилия в них определяются из условий равновесия, составляемых для отдельных частей шпренгеля, который при этом можно рассматривать как самостоятельную двух-опорную ферму (рис. 1.39, г);
3) элементы, принадлежащие одновременно основной ферме и шпренгелю.
Усилия в таких элементах равны сумме двух усилий, одно из которых возникает в элементе основной фермы, а другое — в элементе шпренгеля.
Встречаются шпренгельные фермы, в состав которых входят двухъярусные шпренгели. Отличительная особенность двухъярусных шпренгелей состоит в том, что они узловую нагрузку, приложенную к нижнему поясу, передают в узлы верхнего пояса или, наоборот, — с верхнего пояса на нижний. Элементы таких шпренгельньгх ферм делятся на четыре категории: первые три те же, что и для ферм с одноярусными шпренгелями; элементами четвертой категории являются те элементы основной фермы, линии влияния для которых имеют различный вид при езде поверху и при езде понизу. Расчет ферм с двухъярусными шпренгелями проводится с учетом этой особенности и подробно рассмотрен в учебнике.
Статически неопределимой называют такую систему, которая не может быть рассчитана по методу сечений с использованием лишь одних условий равновесия, так как она обладает лишними связями. В качестве лишних следует принимать те связи, которые необходимо отбросить из состава заданной, чтобы превратить ее в статически определимую и геометрически неизменяемую систему.
Количество лишних связей, которые следует удалить из статически неопределимой системы для обращения ее в статически определимую и геометрически неизменяемую, называют степенью статической неопределимости.
Следует различать внешне статически неопределимые и внутренне статически неопределимые системы.Внутренне статически неопределимой называют систему, обладающую лишними связями, введенными для взаимного соединения частей системы.
Двухопорная рама с затяжкой (рис. 2.2, а) внутренне один раз статически неопределимой. Статически определимая система (рис. 2.2, б) получена из заданной (рис. 2.2, а) путем разрезания затяжки ab. И при этом взаимодействие частей затяжки заменяется только одной неизвестной осевой силой N . Следовательно, в статически определимой системе, изображенной на рис. 2.2, б, имеем одно лишнее неизвестное N , которое невозможно определить при помощи метода сечений. Поэтому заданная система является один раз статически неопределимой.Если затяжку жестко заделать в стойки, как это показано на рис. 2.3, а, то получим трижды статически неопределимую систему.
Действительно, в данном случае после разрезания нижнего ригеля ab, взаимодействие частей ас и be характеризуется уже тремя неизвестными усилиями N, Q, М (рис. 2.3, б), которые нельзя определить из условия равновесия. Поэтому система, изображенная на рис. 2.3, а, является три раза внутренне статически неопределимой.
Отсюда можно сделать вывод, что в плоских системах, замкнутый бесшарнирный контур имеет три лишние связи. Следовательно, если плоская система содержит п замкнутых контуров, то она, очевидно, будет 3-я раз статически неопределима.
Отметим следующие основные свойства статически неопределимых систем.
Статически неопределимые системы ввиду наличия добавочных лишних связей, по сравнению с соответствующей статически определимой системой, оказываются более жесткими, а при идентичном характере нагружения значения усилий получаются меньшими. Следовательно, и более экономичными.
Разрушение лишних связей в нагруженном состоянии не ведет к разрушению всей системы в целом, так как удаление этих связей приводит к новой, геометрически неизменяемой системе, в то время как потеря связи в статически определимой системе приводит к изменяемой системе.
В строительной механике различают следующие два классических метода расчета статически неопределимых систем; метод сил к метод перемещений.
При расчете по методу сил основными искомыми величинами являются усилия в лишних связях. Знание усилий в лишних связях позволит по методу сечений, как это было показано в первом разделе учебника, выполнять полный расчет по определению усилий, возникающих в поперечных сечениях элементов заданной системы.
При расчете по методу перемещений основными искомыми величинами являются перемещения узловых точек, вызванные деформацией системы. Знание этих перемещений необходимо и достаточно для определения всех внутренних усилий, возникающих в поперечных сечениях элементов, заданной системы.
При расчете статически неопределимых систем, кроме уравнений равновесия, как известно, приходится составлять и решать уравнения совместности деформаций системы. Для составления таких уравнений необходимо уметь определять перемещения заданной системы. Это приходится часто делать и при расчете статически определимых систем, которые должны обладать не только достаточной прочностью, но и жесткостью, так как в процессе их эксплуатации нормируются не только напряжения, но и перемещения конструкций.
Таким образом, изучение общих методов определения перемещений упругих систем является одной из основных задач строительной механики.
При определении перемещений заданной системы очень важным является понятие работы внешних сил на возможных перемещениях, которая при их статическом действии на сооружение равна сумме половины произв дения значения этих сил на величину соответствующего им перемещения. Работа внешних сил на вызванных ими перемещениях может быть выражена через внутренние усилия (изгибающие моменты, продольные и поперечные силы), возникающие в поперечных сечениях стержней конструкции. На этом основан один из наиболее распространенных способов определения перемещений — способ, предложенный немецким ученым О. Мором в 1874г.
Пусть рассматриваемая заданная стержневая система под влиянием внешнего воздействия деформируется и требуется определить обобщенное перемещение в 1-й произвольной точке (рис. 2.4) в заранее заданном направлении.
Согласно принципу возможных перемещений, для закрепленной системы с идеальными связями, сумма работ всех усилий на любых малых возможных перемещениях равна нулю, что является необходимым и достаточным условием нахождения равновесного состояния рассматриваемой системы. Для деформируемой системы, в аналитическом выражении начала возможных перемещений, следует учесть работу как внешних, так и внутренних усилий.
Рассмотрим два состояния системы: одно, возникающее под действием заданной нагрузки (рис. 2.4, а); второе — под действием единичной силы, приложенной в интересующей нас точке i по направлению искомого перемещения. Определим возможную работу сил второго состояния на перемещениях первого состояния.Это выражение носит название формулы Мора. Замечательной особенностью вычисления перемещегий по формуле Мора является то обстоятельство, что в качестве второго состояния можно использовать любую систему, образованную из заданной путем отбрасывания лишних связей, т.е. брать в качестве вспомогательного состояния любую статически определимую систему, полученную из заданной. Это в значительной степени упрощает процедуру вычисления перемещения по формуле Мора.
Во многих практических случаях формула Мора может быть значительно упрощена. Например, в статически неопределимых фермах изгибающие моменты и поперечные силы пренебрежимо малы, а продольные силы постоянны по длине каждого стержня.