Строительная механика
Основы строительной механики
Рубрика 'Строительная механика' Category
Дерево при растяжении вдоль волокон подчиняется закону Гука, но разрушается хрупко. На сжатие оно следует криволинейной диаграмме работы, которая с известной степенью точности может быть заменена диаграммой Прандтля Несмотря на то, что временное сопротивление древесины при растяжении больше, чем при сжатии, в строительных конструкциях избегают растянутых деревянных элементов, как опасных, ввиду хрупкого характера их разрушения (см. рис. 1.3, г.).
Следует заметить, что расчет по нелинейной диаграмме работы материала тоже не является вполне точным и строгим, так как фактическая диаграмма зависит не только от свойств материала конструкции, но и от режима нагружения: при больших скоростях нагружения она приближается к прямой линии закона Гука, при малых скоростях наблюдается рост пластических деформаций (рис. 1.3, д). Таким образом, в зависимость напряжений от дефор-маций входит фактор времени. Раскрытие этих зависимостей приводит к уравнениям ползучести, которые имеют вид уже не обычных алгебраических функций, а дифференциальных или интегральных соотношений.Наиболее хорошо разработаны методы расчета конструкций из упругих материалов, т.е. подчиняющихся закону Гука. Строительная механика упругих линейно-деформируемых систем представляет собой стройную науку и наиболее широко применяется при выполнении практических расчетов.
Исходные уравнения строительной механики можно разбить на три группы.
Уравнения равновесия, представляющие статическую сторону задачи расчета сооружения. Эти уравнения устанавливают взаимосвязь между внешними и внутренними усилиями, которые входят в них линейно. Таким образом, уравнения равновесия всегда линейные.
read comments (0)
Уравнения совместности деформаций, представляющие геометрическую сторону задачи расчета сооружений. В этих уравнениях деформации удлинения, сжатия, изгиба и т.п. связываются с перемещениями точек системы. В общем случае эти уравнения нелинейные. Но если учесть, что перемещения и деформации, как правило, малы для реальных систем по сравнению с размерами конструкций, то уравнения, связывающие их, становятся линейными.
Физические уравнения связывают напряжения с деформациями. Для многих материалов эти уравнения можно получить на основе закона Гука. Однако поскольку большинство материалов подчиняется этим зависимостям лишь при малых напряжениях, то линейную связь между усилиями и деформациями следует считать довольно грубым приближением, особенно в тех случаях, когда напряжения в конструкциях приближаются к разрушающим. Вместе с тем расчет на основе закона Гука можно считать оправданным при работе конструкции в стадии упругой деформации, когда до разрушения конструкции еще далеко.
Если все уравнения: равновесия, совместности деформаций и физические, составленные для данной конструкции линейные, то расчетная схема представляет линейно-деформированную систему, для которой справедлив принцип независимости действия сил. Этот принцип формулируется таким образом: если на конструкцию действует несколько видов нагрузок, то суммарный результат действия этих нагрузок равен сумме результатов действия каждой отдельной нагрузки. Это относится к усилиям, деформациям, перемещениям и другим расчетным величинам.
Из принципа независимости действия сил вытекает, что конструкцию можно рассчитывать на отдельные единичные усилия, а затем результаты умножить на значения этих усилий и сложить друг с другом.
Если хотя бы одно из геометрических или физических уравнений будет нелинейным, то принцип независимости действия сил в общем случае неприменим, конструкцию следует рассчитывать сразу на суммарное действие всех нагрузок.
Элементами системы могут быть отдельные стержни, пластинки и массивы. Часто эти элементы и их группы можно с достаточной степенью точности считать абсолютно жесткими телами. Такие тела в плоских системах называют жесткими дисками, а в пространственных системах — жесткими блоками. Тогда элементами системы можно считать эти жесткие диски или блоки. В число дисков или блоков может входить основание, т.е. тело, на которое опирается система в целом, считается неподвижным.
Сложный шарнир образуется при шарнирном соединении в одной точке более чем двух дисков или блоков. Он эквивалентен (к-1)-му простому шарниру, где к — число соединяемых им элементов.Каждый жесткий блок пространственной системы обладает шестью степенями свободы: тремя поступательными перемещениями в направлении координатных осей х, у и Z, и тремя поворотами вокруг этих осей.
Каждая элементарная связь отнимает одну степень свободы. Каждый простой шарнир уничтожает две степени свободы взаимной подвижности связанных им дисков или блоков. Пусть схема содержит D — дисков, Ш — шарниров, Со — опорных стержней.Если W< О, то система имеет избыточное число связей. В этом случае можно утверждать, что система является статически неопределимой, но ничего определенного сказать нельзя относительно кинематической неизменяемости системы.
При W= О система формально содержит достаточное количество связей, чтобы считать ее геометрически неизменяемой и статически определимой. Действительно, любая геометрически неизменяемая и статически определимая система должна удовлетворять этому условию.
Но условие W< О не гарантирует геометрической неизменяемости конструкции, т.е. при наличии лишних связей эти связи могут быть поставлены так, что в некоторой части система может оказаться геометрически изменяемой, а в другой — неизменяемой.
Поэтому всегда дополнительно проводится геометрический анализ структуры системы.
Если число уравнений равновесия равно числу элементарных связей системы С, включая опорные, то усилия в этих связях можно однозначно определить из этих уравнений. Для этого необходимо, чтобы число связей С было равно в плоской системе ЗД а в пространственной - 6Б, так как общее число степеней свободы системы с жесткими элементами и связями:
п = 3 D - С (в плоской системе)
о = 6 Б - С (в пространственной системе).
Определенное таким образом число степеней свободы системы называется степенью или числом геометрической изменяемости системы. Реальные системы должны быть неизменяемыми, т.е. обладать нулевой или отрицательной степенью изменяемости.
Системы с одной степенью изменяемости называются механизмами; с несколькими степенями изменяемости — кинематическими цепями. Системы с нулевой степенью изменяемости называются статически определимыми.
Итак, в статически определимых системах « = 0. Заметим, что п — 0 для систем, находящихся в равновесном состоянии, является необходимым, а л = 0 и W= 0 необходимым и достаточным условием статической определимости и геометрической неизменяемости системы. Поскольку уравнения равновесия всегда линейные, то для определения внутренних сил в статически определимых системах можно пользоваться принципом независимости действия сил В статически определимых системах значения усилий можно однозначно определить методом сечений с применением уравнений равновесия статики.
Статически определимые системы имеют и свои недостатки, главным из которых является отсутствие резервирования. В случае разрушения одного из элементов заданной системы, она превращается в геометрически изменяемую. Данное обстоятельство снижает надежность и безопасность статически определимых систем в эксплуатационных режимах. В этом отношении преимущество имеют системы с «лишними» связями, т.е. с отрицательной степенью изменяемости, получившие название статически неопределимых систем.
Принцип независимости действия сил позволяет расчленять нагрузку на отдельные части и вести расчет порознь на действие каждой из них. Простейшей базовой нагрузкой является единичная сосредоточенная сила, приложенная в определенной точке и в определенном направлении. Из сосредоточенных сил можно получить любую нагрузку, в том числе и распределенную, путем предельного перехода к бесконечной сумме бесконечного числа сосредоточенных сил. Поэтому имея расчет системы на действие единичной сосредоточенной силы, приложенной в произвольной точке и по произвольному направлению, мы сможем легко рассчитать систему и на любую нагрузку. Данный подход является аналогом известного метода функций Грина из математики.
При перемещении точки приложения сосредоточенной силы усилие в рассматриваемом сечении системы, естественно, изменяется График, изображающий закон изменения усилия или деформационного фактора в данном сечении в зависимости от положения на сооружении единичного груза с = 1, называется линией влияния.
Точно также можно определить линию влияния какого-либо перемещения, например прогиба в определенной точке, от действия единичной сосредоточенной нагрузки, приложенной в различных местах системы.Следует подчеркнуть различие между понятиями линии влияния и эпюры, которая по определению также является графическим изображением закона изменения усилия или перемещения.
Ординаты у! и линии влияния, и эпюры моментов являются здесь функциями от координаты х. Однако в случае линий влияния эта координата определяет положение груза Р= 1, а в случае эпюры — положение сечения, в котором находится момент.
Часто нагрузка передается на конструкцию не непосредственно, а через систему статически определимых балок (рис. 1.10, а). Тогда, если единичный груз находится в начале пролета балки, т.е. в точке а, то он целиком передается на основную конструкцию и вызывает усилие, для которого построена линия влияния, численно равное уа — ординате линии влияния, соответствующей I основной конструкции (рис. 1.10, б).
Если груз находится в конце пролета балки (точка Ь), то он также передается на основную конструкцию, вызывая усилие, численно равное у/, — ординате линии влияния в точке Ъ основной конструкции.
Для многопролетной статически определимой балки требуется (рис. 1.14, а):
1. Проверить геометрическую неизменяемость системы.
2. Построить эпюры изгибающих моментов М и поперечных сил Q от заданной нагрузки.
3. Построить линии влияния М и Q для заданного сечения 1 статическим способом.
4. Загрузить эти линии влияния заданной внешней нагрузкой и сравнить полученные результаты со значениями ординат эпюр М и Q в этом же сечении.Следовательно, рассматриваемая статически определимая балка имеет необходимое количество связей и является геометрически неизменяемой системой. С методической целью проведем анализ геометрической неизменяемости балки и другим способом.
Для проверки неизменяемости данной многопролетной балки начнем геометрический анализ с рассмотрения балки АБС Она соединена с землей тремя непараллельными и не пересекающимися в одной точке опорными стержнями и, следовательно, геометрически неизменяема, и может быть названа основной.
Балка CDE, являясь дополнительной по отношению к балке АБС, прикреплена к неизменяемой системе с помощью шарнира С, кинематически эквивалентного двум связям, а к земле — с помощью одного опорного стержня D. Так как направление указанного опорного стержня не проходит через шарнир С, балка CDE является геометрически неизменяемой.Балка ЕЕ является дополнительной и прикреплена к неизменяемой системе шарниром Е, эквивалентным двум связям, а к земле -опорным стержнем F, направление которого не проходит через шарнир Е, и поэтому эта балка также геометрически неизменяема.
Таким образом, данная многопролетная статически определимая балка является геометрически неизменяемой.Для построения эпюр изгибающих моментов М и поперечных сил Q для многопролетной статически определимой балки необходимо отдельно построить эпюры для каждой балки (основной и дополнительных), а затем их совместить. При этом определение ординат изгибающих моментов и поперечных сил следует вначале проводить для таких дополнительных балок, опорные реакции которых не зависят от нагрузок на других балках.
Построение линий влияния внутренних силовых факторов Л/ и Q выполним статическим способом в следующем порядке:
- устанавливаем взаимодействие основной и дополнительных балок по «этажной» схеме (рис. 1.14, б);
- строим линии влияния внутренних усилий для однопролетной балки, в которой находится рассматриваемое сечение (см. методические указания к построению линий влияния в балках п.1 6 и рис. 1.8 и 1.9),
- полученную линию влияния распространяем на всю длину многопролетной балки с учетом узловой передачи нагрузок. При этом следует иметь в виду, что при положении груза Р = I над опорами балок внутренние усилия во всех сечениях равны нулю;
- определяем из подобия треугольников значения ординат.
Характерные из них указываем на линиях влияния, причем положительные ординаты откладываем вверх. Характерными точками линий влияния являются точки перелома под шарнирами.
Построим линии влияния М и Q в сечении 1 (рис. 1.14, д, е). Сечение 1 находится в основной однопролетной балке с консолью. Поэтому для нее линии влияния строятся, как для однопролетной балки с консолью. При их построении необходимо рассмотреть положение груза Р — 1 правее и левее сечения 1.
Левая и правая прямые линии влияния момента пересекаются под сечением 1, а линии влияния поперечной силы в этом случае имеют скачок на величину, равную единице.Далее линии влияния М и Q распространяются на правую панель, т.е. правую прямую следует продлить до конца консоли. Влияние дополнительных балок учитываем по правилу узловой передачи нагрузок следующим образом.
Так как ордината линии влияния в сечении 1 равна нулю, когда груз расположен над опорами D и F, то с конца консоли балки ABC проводим прямую, проходящую через нуль в сечении D и продолжаем до конца консоли балки CDE, откуда проводим прямую, проходящую через нуль в сечении F.
Для многопролетной шарнирной балки (рис. 1.18, а) требуется:
1. Проверить геометрическую неизменяемость системы.
2. Заменить распределенную нагрузку сосредоточенными силами в узлах деления балки на панели и составить вектор нагрузки.
3. Составить матрицу влияния моментов для всех десяти сечений, отмеченных на схеме.
4. Составить матрицу влияния поперечных сил для всех участков балки
5. Получить с помощью матриц влияния векторы изгибающих моментов и поперечных сил от нагрузки, преобразованной по п. 2.
6. Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил от заданной нагрузки.
7. С помощью матриц влияния построить линию влияния изгибающего момента в сечении 2.
8. Загрузить эту линию влияния заданной нагрузкой и сравнить значение М с результатом, полученным в п. 3.Решение
1. Проверка геометрической неизменяемости системы
Данная многопролетная шарнирная балка состоит из трех дисков (балок), соединенных двумя шарнирами и пятью связями. Поэтому степень неизменяемости системы равна W = 3 D - 2 Ш -- С0 = 3-3-22-5 = 0.
Таким образом, система имеет как раз столько связей, сколько необходимо для геометрической неизменяемости. Проверим правильность постановки связей.
Диск (балка) 1—3 присоединяется к земле тремя связями, образующими жесткое защемление. Следовательно, эта балка — основная.
Балка 3—8 соединяется с уже доказанной неизменяемой системой шарниром 3 и стержнем в точке 6, не проходящим через шарнир. Следовательно, эта балка — дополнительная и система балок 1—8 геометрически неизменяемая.
Балка 8-10 соединяется с балкой 1—8 при помощи шарнира в точке 8 и стержнем в точке 10, не проходящим через этот шарнир. Следовательно, эта балка — также дополнительная, и вся система геометрически неизменяемая. «Этажная» схема балки.Разобьем заданную многопролетную балку на 9 участков, каждый длиной d = 6 м, и пронумеруем точки деления (рис. 1.18, о). Подсчитаем сосредоточенные силы в каждой из этих точек.
Для этого будем рассмативать каждый участок как балку на двух шарнирных опорах пролетом d и рассчитаем для этой балки опорные реакции от заданной нагрузки в пределах этого пролета. На границе двух участков сумма реакций, направленных в противоположную сторону, даст сосредоточенную силу в точке, являющейся границей двух смежных участков.
Заметим, что каждый столбец матрицы влияния моментов представляет собой ординаты линии влияния в характерных сечениях. Числа этой матрицы не обладают свойством взаимности, т.е. матрица влияния не является симметричной
Составим матрицу влияния моментов для всех десяти сечений балки, соответствующих точкам деления балки на участки. С этой целью построим десять эпюр изгибающих моментов для заданной многопролетной балки от силы Р= 1, последовательно приложенной в каждой из десяти точек деления балки на участки.Матрицу влияния поперечных сил для всех участков балки можно было бы составить аналогично матрице влияния моментов, т.е. с помощью эпюр Q, построенных от последовательного загружения балки во всех точках деления на участки сосредоточенной силой Р= 1.Векторы (матрицы-столбцы) изгибающих моментов и поперечных сил могут быть определены с помощью матриц влияния моментов и поперечных сил по формулам: М = LUP и Q = LQP. Получим эти векторы от вектора нагрузки Р, характеризующей данную систему.
Компонентами вектора моментов М являются величины изгибающих моментов в соответствующих сечениях балки от нагрузки, полученной в п. 2. Откладывая эти величины в масштабе от базисной линии в соответствующих сечениях балки (рис. 1.18, г), получим эпюру изгибающих моментов (на участках, где действует распределенная нагрузка, эта эпюра показана пунктиром).
Для построения эпюры моментов от заданной нагрузки следует полученную эпюру на каждом из участков, где действует распределенная нагрузка, сложить с эпюрой моментов от распределенной нагрузки в пределах одного участка, если рассматривать этот участок как самостоятельную балку на двух шарнирных опорах.Компонентами вектора поперечных сил Q являются величины поперечных сил на соответствующих участках балки (постоянные по величине в пределах каждого участка) от нагрузки, полученной в п. 2. Откладывая эти величины в масштабе от базисной линии на соответствующих участках балки (рис 1.18, е), получим эпюру по- f перечных сил (на участках, где дей- / ствует распределенная нагрузка, эта эпюра показана пунктиром).Для построения эпюры поперечных сил от заданной нагрузки следует проделать с полученной эпюрой Q ту же операцию, что и с эпюрой М.Рассмотрим столбец этой матрицы с номером/ По построению и по логике расстановки индексов элементы этого столбца являются ординатами эпюры моментов от действия единичной силы в точке / Выделим теперь строку матрицы LM с номером /. У элементов этой строки первый индекс одинаков, следовательно, это численное значение изгибающего момента в сечении /. Второй индекс меняется от 1 до 10, следовательно, тц — это значения изгибающего момента в сечении / от действия единичной силы, меняющей свое положение. Другими словами, любая строка матрицы содержит значения ординат линии влияния момента в соответствующем сечении балки.